Né à Philadelphie, il est violoncelliste principal du Boston Symphony Orchestra qu'il a rejoint en 1964, après trois années passées au même poste mais au Cleveland Orchestra, dirigé par George Szell.
Il a étudié avec son père, violoncelliste amateur. Il a commencé ses études musicales à l'âge de 8 ans puis a rejoint le Dallas Symphony à l'âge de 16 ans où il rencontra Janos Starker. Il devint le premier élève de Starker aux USA dont il devint l'ami.
Au Curtis Institute à Philadelphie, Eskin a travaillé avec Gregor Piatigorsky et Leonard Rose. Durant les étés 1947 et 1948, il étudia au Tanglewood Music Center. En 1954, il remporta le premier prix à la Walter Naumburg Competition. Il fit ses débuts lors d'un récital au Town Hall de New York City, qui lui ouvrirent les portes des salles de concert européennes.
Eskin a participé au Marlboro Music Festival avec le Casals Festival Orchestra. Il a joué également des oeuvres de musique de chambre avec Isaac Stern, le Guarneri String Quartet et a constitué un trio avec Arnold Steinhardt et Lydia Artymiw.
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