Né à la Hague, Ab Koster, est corniste, comme son père. Il étudie dans sa ville natale où il obtient le prix d'excellence.
Il poursuivra ses études aux USA avec Philip Farkas à Bloomington (Indiana) puis en Allemagne avec Hermann Baumann à Essen.
Ab Koster fut cor solo du NDR Sinfonieorchester de 1977 à 1990, puis se consacra à une carrière de soliste. Depuis 1980 il enseigne à la Hochschule für Musik d'Hambourg.
Il a régulièrement collaboré avec Frans Brüggen, Gustav Leonhardt, Jean-Pierre Rampal, le Franz Liszt Chamber Orchestra, les German Bach Soloists et Tafelmusik
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